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【題目】三棱錐中，，△為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為.則三棱錐體積的最大值為（ ）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

由已知作出圖象，找出二面角的平面角，設(shè)出的長(zhǎng)，即可求出三棱錐的高，然后利用基本不等式即可確定三棱錐體積的最大值（用含有長(zhǎng)度的字母表示），再設(shè)出球心，由球的表面積求得半徑，根據(jù)球的幾何性質(zhì)，利用球心距，半徑，底面半徑之間的關(guān)系求得的長(zhǎng)度，則三棱錐體積的最大值可求.

如圖所示，過(guò)點(diǎn)作面，垂足為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

則為二面角的平面角的補(bǔ)角，即有，

易知面，則，而△為等邊三角形，

∴為中點(diǎn)，

設(shè)，

則c，

故三棱錐的體積為：，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，體積最大，此時(shí)共線.

設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，

由已知，，得.

過(guò)點(diǎn)作于F，則四邊形為矩形，

則， ，，

在△中，解得

∴三棱錐的體積的最大值為：.

故選：D.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若關(guān)于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.[0，2e]B.（﹣∞，2e]C.[0，2e2]D.（﹣∞，2e2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù)．我國(guó)某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)．狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說(shuō)明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級(jí)口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級(jí)口罩．現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再?gòu)闹谐槿?/span>3個(gè)，記其中一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）在2020年“五一”勞動(dòng)節(jié)前，甲，乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號(hào)口罩的某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上分別參加、兩店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購(gòu)，其中每個(gè)訂單由個(gè)該型號(hào)口罩構(gòu)成．假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購(gòu)成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為，，

①求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②求當(dāng)的數(shù)學(xué)期望取最大值時(shí)正整數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】指數(shù)是用體重公斤數(shù)除以身高米數(shù)的平方得出的數(shù)字，是國(guó)際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)．對(duì)于高中男體育特長(zhǎng)生而言，當(dāng)數(shù)值大于或等于20.5時(shí)，我們說(shuō)體重較重，當(dāng)數(shù)值小于20.5時(shí)，我們說(shuō)體重較輕，身高大于或等于我們說(shuō)身高較高，身高小于170cm我們說(shuō)身高較矮．

（Ⅰ）已知某高中共有32名男體育特長(zhǎng)生，其身高與指數(shù)的數(shù)據(jù)如散點(diǎn)圖，請(qǐng)根據(jù)所得信息，完成下述列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為男生的身高對(duì)指數(shù)有影響．

身高較矮

身高較高

合計(jì)

體重較輕

體重較重

合計(jì)

（Ⅱ）①?gòu)纳鲜?/span>32名男體育特長(zhǎng)生中隨機(jī)選取8名，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：

編號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

身高

166

167

160

173

178

169

158

173

體重

57

58

53

61

66

57

50

66

根據(jù)最小二乘法的思想與公式求得線性回歸方程為．利用已經(jīng)求得的線性回歸方程，請(qǐng)完善下列殘差表，并求（解釋變量（身高）對(duì)于預(yù)報(bào)變量（體重）變化的貢獻(xiàn)值）（保留兩位有效數(shù)字）；

編號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

體重（kg）

57

58

53

61

66

57

50

66

殘差

②通過(guò)殘差分析，對(duì)于殘差的最大（絕對(duì)值）的那組數(shù)據(jù)，需要確認(rèn)在樣本點(diǎn)的采集中是否有人為的錯(cuò)誤，已知通過(guò)重新采集發(fā)現(xiàn)，該組數(shù)據(jù)的體重應(yīng)該為．小明重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，已算出，請(qǐng)?jiān)谛∶魉愕幕A(chǔ)上求出男體育特長(zhǎng)生的身高與體重的線性回歸方程．

參考數(shù)據(jù)：

，，，，

參考公式：，，，，．

0.10

0.05

0.01

0.005

2.706

3.811

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)，對(duì)，有，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù).現(xiàn)給出以下命題：①是周期函數(shù)；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，在上至少有六個(gè)零.其中正確命題的序號(hào)為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為實(shí)現(xiàn)2020年全面建設(shè)小康社會(huì)，某地進(jìn)行產(chǎn)業(yè)的升級(jí)改造.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研和科學(xué)研判，準(zhǔn)備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個(gè)核心部件，目前只有甲、乙兩種設(shè)備可以獨(dú)立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設(shè)備生產(chǎn)的部件中隨機(jī)抽取400件，對(duì)其核心部件的尺寸x，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理的頻率分布直方圖.

根據(jù)行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，該核心部件尺寸x滿足：|x﹣12|≤1為一級(jí)品，1＜|x﹣12|≤2為二級(jí)品，|x﹣12|＞2為三級(jí)品.

（Ⅰ）現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組，用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產(chǎn)品，再?gòu)乃槿〉?/span>40件產(chǎn)品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的產(chǎn)品，記ξ為這2件產(chǎn)品中尺寸x∈[14，15]的產(chǎn)品個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）將甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝出售時(shí)，需要進(jìn)行檢驗(yàn).已知每箱有100件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為50元.檢驗(yàn)規(guī)定：若檢驗(yàn)出三級(jí)品需更換為一級(jí)或二級(jí)品；若不檢驗(yàn)，讓三級(jí)品進(jìn)入買(mǎi)家，廠家需向買(mǎi)家每件支付200元補(bǔ)償.現(xiàn)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽檢了10件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有1件三級(jí)品.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的慨率，以廠家支付費(fèi)用作為決策依據(jù)，問(wèn)是否對(duì)該箱中剩余產(chǎn)品進(jìn)行一一檢驗(yàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）為加大升級(jí)力度，廠家需增購(gòu)設(shè)備.已知這種產(chǎn)品的利潤(rùn)如下：一級(jí)品的利潤(rùn)為500元/件；二級(jí)品的利潤(rùn)為400元/件；三級(jí)品的利潤(rùn)為200元/件.乙種設(shè)備產(chǎn)品中一、二、三級(jí)品的概率分別是，，.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的概率，以廠家的利潤(rùn)作為決策依據(jù).應(yīng)選購(gòu)哪種設(shè)備？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】按照水果市場(chǎng)的需要等因素，水果種植戶把某種成熟后的水果按其直徑的大小分為不同等級(jí).某商家計(jì)劃從該種植戶那里購(gòu)進(jìn)一批這種水果銷售.為了了解這種水果的質(zhì)量等級(jí)情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100個(gè)這種水果，統(tǒng)計(jì)得到如下直徑分布表（單位：mm）：

d

等級(jí)

三級(jí)品

二級(jí)品

一級(jí)品

特級(jí)品

特級(jí)品

頻數(shù)

1

m

29

n

7

用分層抽樣的方法從其中的一級(jí)品和特級(jí)品共抽取6個(gè)，其中一級(jí)品2個(gè).

（1）估計(jì)這批水果中特級(jí)品的比例；

（2）已知樣本中這批水果不按等級(jí)混裝的話20個(gè)約1斤，該種植戶有20000斤這種水果待售，商家提出兩種收購(gòu)方案：

方案A：以6.5元/斤收購(gòu)；

方案B：以級(jí)別分裝收購(gòu)，每袋20個(gè)，特級(jí)品8元/袋，一級(jí)品5元/袋，二級(jí)品4元/袋，三級(jí)品3元/袋.

用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，問(wèn)哪個(gè)方案種植戶的收益更高？并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2018年12月18日上午10時(shí)，在人民大會(huì)堂舉行了慶祝改革開(kāi)放40周年大會(huì)．40年眾志成城，40年砥礪奮進(jìn)，40年春風(fēng)化雨，中國(guó)人民用雙手書(shū)寫(xiě)了國(guó)家和民族發(fā)展的壯麗史詩(shī)．會(huì)后，央視媒體平臺(tái)，收到了來(lái)自全國(guó)各地的紀(jì)念改革開(kāi)放40年變化的老照片，并從眾多照片中抽取了100張照片參加“改革開(kāi)放40年圖片展”，其作者年齡集中在之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，做出頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）求這100位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，作者年齡X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平

均數(shù)，近似為樣本方差．

（i）利用該正態(tài)分布，求；

（ii）央視媒體平臺(tái)從年齡在和的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“紀(jì)念改革開(kāi)放40年圖片展”表彰大會(huì)，現(xiàn)要從中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間的人數(shù)是Y，求變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，若，則，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，，

（1）求證：；

（2）若四邊形為正方形，為正三角形，M是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值

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同步練習(xí)冊(cè)答案