Question

20．在如圖所示的幾何體ABCDE中，AE⊥平面DCE，BE=$\sqrt{6}$，DC=4，BD=2，CE=2$\sqrt{3}$，∠BCD=30°，CE⊥AD．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）若AE=4$\sqrt{3}$，求二面角D-AC-E（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過B作BF⊥CD于F，利用線面垂直的判定定理證明，BF∥AE，即可證明AE∥平面BCD；
（Ⅱ）若AE=4$\sqrt{3}$，根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角即可求二面角D-AC-E（銳角）的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵DC=4，BD=2，∠BCD=30°，
∴△BCD為直角三角形，則CB⊥BD，則BC=2$\sqrt{3}$，
∵CE=2$\sqrt{3}$，CE⊥AD，AE⊥平面DCE，
∴AE⊥CE，
則CE⊥平面ADE，
則CE⊥DE，
則DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=2，
∵BC=CE，DE=DE，∠ABD=∠CED=90°，
∴△CED≌△CBD，
過B作BF⊥CD于F，連接EF，則EF⊥CD，
則BF=EF=BC•sin30°=$\sqrt{3}$，
∵BE=$\sqrt{6}$
∴BF²+EF²=BE²，即BF⊥EF，
∵BF⊥CD，∴BF⊥平面CDE，
∵AE⊥平面DCE，∴BF∥AE，
∵AE?平面BCD，∴AE∥平面BCD；
（Ⅱ）若AE=4$\sqrt{3}$，
由（Ⅰ）知，DE⊥平面ACE，過E作EM⊥AC于M，連接DM，
則∠EMD是二面角D-AC-E（銳角）的平面角，
∵CE=2$\sqrt{3}$，AE=4$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{15}$，則EM=$\frac{AE•CE}{AC}$=$\frac{4\sqrt{3}•2\sqrt{3}}{2\sqrt{15}}$=$\frac{12}{\sqrt{15}}$，
則DM=$\sqrt{M{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{\sqrt{15}}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{85}}{5}$，則cos∠EMD=$\frac{ME}{DM}$=$\frac{\sqrt{51}}{17}$，
二面角D-AC-E（銳角）的余弦值是$\frac{\sqrt{51}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判定，以及二面角的求解，利用二面角的定義作出平面角是解決本題的關(guān)鍵．本題也可以建立坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．