Question

9．已知實數(shù)a，b，c，d滿足$\frac{a-2{e}^{a}}$=$\frac{1-c}{d-1}$=1其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 18

Answer 1

分析 由已知得點（a，b）在曲線y=x-2e^x上，點（c，d）在曲線y=2-x上，（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線y=x-2e^x到曲線y=2-x上點的距離最小值的平方．由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：∵實數(shù)a，b，c，d滿足$\frac{a-2{e}^{a}}$=$\frac{1-c}{d-1}$=1，∴b=a-2e^a，d=2-c，
∴點（a，b）在曲線y=x-2e^x上，點（c，d）在曲線y=2-x上，
（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線y=x-2e^x到曲線y=2-x上點的距離最小值的平方．
考查曲線y=x-2e^x上和直線y=2-x平行的切線，
∵y′=1-2e^x，求出y=x-2e^x上和直線y=2-x平行的切線方程，
∴令y′=1-2e^x=-1，
解得x=0，∴切點為（0，-2），
該切點到直線y=2-x的距離d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{1+1}}$=2$\sqrt{2}$就是所要求的兩曲線間的最小距離，
故（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²=8．
故選：A．

點評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．