Question

已知函數(shù)f(x)=a^x-2-1(a＞0,a≠1).

(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；

(2)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)滿足：對于區(qū)間(2,+∞)上使函數(shù)f(x)有意義的一切x，都有f(x)≥0.

Answer 1

解析：(1)由4-a^x≥0,得a^x≤4.

當a＞1時，x≤log_a4;

當0＜a＜1時，x≥log_a4.

即當a＞1時，f(x)的定義域為（-∞,log_a4］;

當0＜a＜1時，f(x)的定義域為［log_a4,+∞）.

令t=,則0≤t＜2,且a^x=?4-t²,?∴f(x)=4-t²-2t-1=-(t+1)²+4,

當t≥0時，f(x)是t的單調(diào)減函數(shù),

∴f(2)＜f(x)≤f(0),即-5＜?f(x)≤3.∴函數(shù)f(x)的值域是（-5，3］.

(2)若存在實數(shù)a使得對于區(qū)間（2，+∞）上使函數(shù)f(x)有意義的一切x,都有?f(x)≥0,則區(qū)間（2,+∞）是定義域的子集.由(1)知，a＞1不滿足條件；若0＜a＜1,則log_a4＜2,且f(x)是x的減函數(shù).

當x＞2時，a^x＜a².由于0＜a²＜1,

∴t=.

∴f(x)＜0,即f(x)≥0不成立.

綜上，滿足條件的a的取值范圍是.