Question

3．已知曲線方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，求點（2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$）處的切線方程．

Answer 1

分析 設切線的方程為y-$\frac{3}{2}$=k（x-2$\sqrt{3}$），聯(lián)立橢圓的方程，消去y，再由直線和橢圓相切的條件：判別式為0，解方程可得k，進而得到所求切線的方程．

解答 解：設切線的方程為y-$\frac{3}{2}$=k（x-2$\sqrt{3}$），
即為y=kx+$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{3}$k，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得：
（9+16k²）x²+16k（3-4$\sqrt{3}$k）x+16（$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{3}$k）²-144=0，
由直線和橢圓相切的條件可得：
△=256k²（3-4$\sqrt{3}$k）²-4（9+16k²）[16（$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{3}$k）²-144]=0，
解得k=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
即有切線的方程為y-$\frac{3}{2}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-2$\sqrt{3}$），
即為y=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x+6．

點評 本題考查橢圓的切線的方程的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由判別式等于0，考查運算能力，屬于中檔題．