Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為、，為橢圓的一個短軸頂點，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若經(jīng)過橢圓左焦點的直線交橢圓于、兩點，為橢圓的右頂點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓幾何條件，根據(jù)可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，利用可面積函數(shù)關(guān)系式，最后通過換元利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解：（1）∵橢圓的兩個焦點分別為、，為橢圓的一個短軸頂點， ．∴，

因為，，，

所以，，，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

（2）由題意可得：直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為：．

設(shè)，．

聯(lián)立，化為：，

，∴，，

∴

∴ ．

令，可得：．

∴，

，單調(diào)遞減，

可得，即時，函數(shù)取得最大值，即，

∴面積的最大值為．