Question

14．已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=$x+\frac{1}{x}$的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=xf（x）+ax，且g（x）在區(qū)間（0，4]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設f（x）圖象上任意一點坐標為B（x，y），其關于A（0，1）的對稱點B′（x′，y′），利用中點坐標公式得到$\left\{\begin{array}{l}{x′=-x}\\{y′=2-y}\end{array}\right.$，然后把B′（x′，y′）代入h（x）可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入g（x）=xf（x）+ax，整理后利用二次函數(shù)的單調性列式求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）的圖象與h（x）的圖象關于點A（0，1）對稱，
設f（x）圖象上任意一點坐標為B（x，y），其關于A（0，1）的對稱點B′（x′，y′），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x′+x}{2}=0}\\{\frac{y+y′}{2}=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=-x}\\{y′=2-y}\end{array}\right.$，
∵B′（x′，y′）在h（x）上，∴y′=x′+$\frac{1}{x′}$，
∴2-y=-x-$\frac{1}{x}$，得y=x+$\frac{1}{x}$+2，
即f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2；
（2）∵g（x）=xf（x）+ax=x²+（a+2）x+1，
且g（x）在（0，4]上為減函數(shù)，
∴$-\frac{a+2}{2}$≥4，解得a≤-10．
∴a的取值范圍為（-∞，-10]．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，訓練了點關于點的對稱點的求法，考查二次函數(shù)的單調性，是中檔題．