Question

已知雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂,離心率為且過點(4,).

(1)求雙曲線的標準方程;

(2)直線x=3與雙曲線交于M、N兩點,求證:F₁M⊥F₂M.

Answer 1

（1）解:由雙曲線的離心率為,即,?

則,∴a=b,?

即雙曲線為等軸雙曲線.?

可設其方程為x²-y²=λ(λ≠0).?

由于雙曲線過點(4,-),?

則4²-()²=λ.?

∴λ=6.∴雙曲線方程為.

(2)證明:由(1)可得F₁、F₂的坐標分別為?(-2,0)?、(2,0),M、N的坐標分別為(3, )、(3,- ),??

∴k_F1M=,k _F2M=.?

故k _F1M?·k _F2M=,?

∴F₁M⊥F₂M.

點評:(1)離心率給定的問題應先研究a、b的關(guān)系,簡化設方程的字母個數(shù).?

(2)λ≠0時,方程x²-y²=λ既可表示焦點在x軸上也可表示焦點在y軸上的雙曲線.