Question

已知點列M₁（x₁，1），M₂（x₂，2），…，M_n（x_n，n），且

MnMn+1

與向量

an

=(-c，cn+1)垂直，其中c是不等于零的實常數，n是正整數．設x₁=1，求數列{x_n}的通項公式，并求其前n項和S_n．

Answer 1

分析：利用

MnMn+1

與向量

an

=(-c，cn+1)垂直，可得

MnMn+1

•

an

=0，從而可得xn+1-xn=cn，利用疊加法，確定數列的通項，分類討論，利用等差數列、等比數列的求和公式，即可得到結論．

解答：解：由題意得：

MnMn+1

=(xn+1-xn，1)…（2分）
∵

MnMn+1

與向量

an

=(-c，cn+1)垂直，
∴

MnMn+1

•

an

=0
∴-c(xn+1-xn)+cn+1=0
∵c≠0
∴xn+1-xn=cn  …（4分）
∴x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=c^n-1+c^n-2+…+c+1…（6分）
當c=1時，x_n=n，此時，S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

  …（8分）
當c≠1時，x_n=c^n-1+c^n-2+…+c+1=

1-cn

1-c

      …（10分）
此時，S_n=

1-c

1-c

+

1-c2

1-c

+…+

1-cn

1-c

=

1

1-c

-

1

1-c

(c+c2+…+cn)
=

n

1-c

-

1

1-c

•

c(1-cn)

1-c

=

n

1-c

-

c-cn+1

(1-c)2

…（12分）

點評：本題考查數列與向量的綜合，考查疊加法，考查數列的求和公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．