Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{a_n}$，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之積為T(mén)_n，則T₂₀₁₆的值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式及首項(xiàng)求出數(shù)列前幾項(xiàng)，可得數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，由此求得T₂₀₁₆的值．

解答 解：由a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{a_n}$，得
${a}_{2}=1-\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，${a}_{3}=1-\frac{1}{{a}_{2}}=-1$，${a}_{4}=1-\frac{1}{{a}_{3}}=2$，…
由上可知，數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
又${a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}=2×\frac{1}{2}×（-1）=-1$，且2016=3×672．
∴T₂₀₁₆=（-1）⁶⁷²=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是對(duì)數(shù)列周期的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．