Question

【題目】計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，如將年人流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．

（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（，）

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行最多，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：

年流入量
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)	1	2	3

若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為4000萬元，若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損600萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？

Answer 1

【答案】（1）；（2）2臺.

【解析】

（1）求出，，，由二項(xiàng)分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率．

（2）記水電站的總利潤為（單位，萬元），求出安裝1臺發(fā)電機(jī)、安裝2臺發(fā)電機(jī)、安裝3臺發(fā)電機(jī)時(shí)的分布列和數(shù)學(xué)期望，由此能求出欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)的臺數(shù)．

解：（1）依題意，，

，

，

由二項(xiàng)分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為：

．

（2）記水電站的總利潤為Y（單位，萬元）

安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形：

由于水庫年入流總量大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年利潤，，

安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形：

依題意，當(dāng)時(shí)，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此，

當(dāng)時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，，

由此得Y的分布列如下

Y	3400	8000
P	0.2	0.8

所以．

安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形：

依題意，當(dāng)時(shí)，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此，

當(dāng)時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，，

當(dāng)時(shí)，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，，

由此得Y的分布列如下

Y	2800	7400	12000
P	0.2	0.7	0.1

所以．

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺．