Question

某花店每天以每枝10元的價格從農(nóng)場購進若干支玫瑰花，并開始以每枝20元的價格出售，已知該花店的營業(yè)時間為8小時，若前7小時內(nèi)所購進的玫瑰花沒有售完，則花店對沒賣出的玫瑰花以每枝5元的價格低價處理完畢（根據(jù)經(jīng)驗，1小時內(nèi)完全能夠把玫瑰花低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再購進玫瑰花）．該花店統(tǒng)計了100天內(nèi)玫瑰花在每天的前7小時內(nèi)的需求量n（單位：枝，n∈N^*）（由于某種原因需求量頻數(shù)表中的部分數(shù)據(jù)被污損而無法看清），制成如下表格（注：x，y∈N^*；視頻率為概率）．

前7小時內(nèi)的需求量n	14	15	16	17
頻數(shù)	10	20	x	y

（Ⅰ）若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅱ）若花店每天購進16枝玫瑰花所獲得的平均利潤比每天購進17枝玫瑰花所獲得的平均利潤大，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）當n=14時，X=130；當n=15時，X=145，當n=16或17時，X=160，由此能求出X的分布列和E（X）．
（Ⅱ）設(shè)花店每天購進17枝玫瑰花時，當天的利潤為Y元，當n=14時，Y=125；當n=15時，Y=140；當n=16時，Y=155；當n=17時，Y=170元，由此根據(jù)E（X）＞E（Y），得到154＞159.5-0.15x，由此以求出x∈[37，69]，x∈N^*．

解答： 解：（Ⅰ）當n=14時，X=14×10+（16-14）×（-5）=130元，…（1分）
當n=15時，X=15×10+（16-15）×（-5）=145元，…（2分）
當n=16或17時，X=160元，…（3分）
所以X的分布列為

X	130	145	160
P	0.1	0.2	0.7

…（4分）
E（X）=130×0.1+145×0.2+160×0.7=154元．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)花店每天購進17枝玫瑰花時，當天的利潤為Y元，則
當n=14時，Y=14×10+（17-14）×（-5）=125元，
當n=15時，Y=15×10+（17-15）×（-5）=140元，
當n=16時，Y=16×10+（17-16）×（-5）=155元，
當n=17時，Y=17×10=170元，…（7分）
所以E(Y)=125×0.1+140×0.2+155×

x

100

+170×

70-x

100

=159.5-0.15x，…（9分）
由于E（X）＞E（Y），所以154＞159.5-0.15x，解得x＞

110

3

，…（10分）
又x，y∈N^*，所以x∈[37，69]，x∈N^*．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法及應用，是中檔題．