Question

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（Ⅰ）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及的值

（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）A或，=（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）把代入橢圓方程求出坐標(biāo)，可得；

（Ⅱ）當(dāng)l與x軸重合，l與x軸垂直時(shí)易證明，當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后用計(jì)算結(jié)果為0，結(jié)論得證．

解：（Ⅰ）由已知得，l的方程為x=1.代入橢圓方程得，，

所以A或，=

（Ⅱ）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，.

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以.

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，，

則，直線MA，MB的斜率之和為.

由得.

將代入得

.

所以， .

則.

從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以.

綜上，.