Question

如圖，拋物線S的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線方程為4x+y-20=0，
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)M，使過(guò)M的動(dòng)直線與拋物線S交于P、Q兩點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=0，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）設(shè)拋物線S的方程為y²=2px，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合直線l與拋物線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得到根的判別式大于0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用重心公式即可求得p值，從而解決問(wèn)題．
（II）先對(duì)動(dòng)直線的斜率進(jìn)行分類討論．當(dāng)動(dòng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線PQ方程為y=kx+b，將y=kx+b代入拋物線方程，得ky²-16y+16b=0，利用垂直關(guān)系求得b與k的關(guān)系，此時(shí)直線PQ過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．當(dāng)PQ的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線PQ亦過(guò)此點(diǎn)，從而問(wèn)題解決．

解答：解：解：（I）設(shè)拋物線S的方程為y²=2px．（1分）
由

4x+y-20=0 y2=2px

可得2y²+py-20p=0．（3分）
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則y1+y2=-

p

2

，
∴x1+x2=(5-

y1

4

)+(5-

y2

4

)=10-

y1+y2

4

=10+

p

8

．（5分）
設(shè)A（x₃，y₃），由△ABC的重心為F(

p

2

，0)，則

x1+x2+x3

3

=

p

2

，

y1+y2+y3

3

=0，
∴x3=

11p

8

-10，y3=

p

2

．（6分）
∵點(diǎn)A在拋物線S上，
∴(

p

2

)2=2p(

11p

8

-10)，
∴p=8．（7分）
∴拋物線S的方程為y²=16x．（8分）
（II）存在定點(diǎn)M，使過(guò)M的動(dòng)直線與拋物線S交于P、Q兩點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=0．
當(dāng)動(dòng)直線PQ的斜率存在時(shí)，
設(shè)動(dòng)直線PQ方程為y=kx+b，顯然k≠0，b≠0．（9分）
∵PO⊥OQ，
∴k_OP•k_OQ=-1．
設(shè)P（x_P，y_P）Q（x_Q，y_Q）
∴

yP

xP

•

yQ

xQ

=-1，
∴x_Px_Q+y_Py_Q=0．（10分）
將y=kx+b代入拋物線方程，得ky²-16y+16b=0，
∴yPyQ=

16b

k

．
從而xPxQ=

yP2•yQ2

162

=

b2

k2

，
∴

b2

k2

+

16b

k

=0．
∵k≠0，b≠0，
∴b=-16k，
∴動(dòng)直線方程為y=kx-16k=k（x-16），
此時(shí)動(dòng)直線PQ過(guò)定點(diǎn)（16，0）．（12分）
當(dāng)PQ的斜率不存在時(shí)，顯然PQ⊥x軸，又PO⊥OQ，
∴△POQ為等腰直角三角形．
由

y2=16x y=x

y2=16x y=-x

得到P（16，16），Q（16，-16），
此時(shí)直線PQ亦過(guò)點(diǎn)（16，0）．（13分）
綜上所述，動(dòng)直線PQ過(guò)定點(diǎn)：M（16，0）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、恒過(guò)定點(diǎn)的直線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．