Question

我們把一系列向量按次序排成一列，稱之為向量列，記作．已知向量列滿足：，．
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)θ_n表示向量間的夾角，求證cosθ_n是定值；
（3）若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量模的坐標公式求出的模，得到與的關(guān)系，利用等比數(shù)列的定義得證．
（2）利用向量的坐標形式的數(shù)量積公式求出的數(shù)量積，利用向量的模、夾角形式的數(shù)量積公式求出夾角的余弦．
（3）利用（2）求出夾角，代入b_n=2nθ_n-1，利用等差數(shù)列的前n項和公式求出S_n，求出極限值．
解答：解：（1）∵
=，
∴數(shù)列是等比數(shù)列
（2）∵
=
（3）∵，
∴，
∴
∴
∴=π
點評：解決向量的夾角問題一般利用向量的數(shù)量積公式求出夾角余弦，再利用夾角范圍求出夾角；求數(shù)列的前n項和問題，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項，據(jù)通項的特點選擇求和方法．