Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q,前n項和S_n＞0(n=1,2,…),求q的取值范圍.

Answer 1

思路點撥:本題主要依據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式將和表示出來,從而問題轉(zhuǎn)化為解不等式.

解:由于數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列,且S_n＞0,

所以a₁=S₁＞0,q≠0,

當(dāng)q=1時,S_n=na₁＞0；當(dāng)q≠1時,S_n=＞0,即＞0(n=1,2,3,…),上式等價于不等式組(n=1,2,3,…)①或(n=1,2,3,…)②,解①得q＞1；

解②,由于n可為偶數(shù),得-1＜q＜1.

綜上所述,q的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞).

[一通百通]對于等比數(shù)列的前n項和公式,在使用時要注意其公比是否為1,如果不能確定,就要針對公比是否為1而分類討論,否則問題可能因此而漏解.