Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為全體R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：y=f（x）是R上的減函數(shù)；          
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若不等式對一切n∈N^*均成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）令x=-1，y=0，代入題設(shè)等式中求得f（0）=1，進而求得a₁，先當x＞0時根據(jù)f（0）=f（-x）•f（x）推斷出0＜f（x）＜1，設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，進而可知0＜f（x₂-x₁）＜1，利用f（x+y）=f（x）f（y）求得f（x₂）-f（x₁）＜0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義推斷出函數(shù)為減函數(shù)．
（II）根據(jù)由 和f（x+y）=f（x）f（y）整理求得進而可判斷出是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．進而根據(jù)等差數(shù)列通項公式求得a_n．
（III）把題設(shè)中的不等式整理成 ，設(shè)出 ，進而表示出F（n+1），進而求得 進而推斷出F（n）為關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)，進而根據(jù) 求得k的最大值．
解答：解：（Ⅰ）令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
由題意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a₁=f（0）=1． 
當x＞0時，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，進而得0＜f（x）＜1．
設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+（x₂-x₁））-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
即f（x₂）＜f（x₁），所以y=f（x）是R上的減函數(shù)．       …-（4分）
（Ⅱ）由得  ，所以．
因為y=f（x）是R上的減函數(shù)，所以，…（6分）
即，進而，所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
所以，所以．     …9
（Ⅲ）由對一切n∈N^*均成立．
知對一切n∈N^*均成立． 設(shè)，
知F（n）＞0且
又．
故F（n）為關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)，．  
所以，k的最大值為…（14分）
點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，利用了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來解決數(shù)列的問題，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．