Question

已知數(shù)列{a_n}滿足（其中n∈N^*），a₁≠0，且a_n+a_n-1≠0．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列，{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)于任意n∈N^*，都有T_n＞log_m（m+1）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)知，故，解得a₁=1；，解得a₂=2，或a₂=-1（舍）3+，解得a₃=3，或a₃=-2（舍）．由此猜想：a_n=n．用數(shù)學(xué)歸納法能夠進(jìn)行證明．
（Ⅱ）由a_n=n，知=n•2ⁿ，故T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，由錯(cuò)位相減法能夠求出結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足（其中n∈N^*），a₁≠0，且a_n+a_n-1≠0，
∴，
∴，解得a₁=1；
，解得a₂=2，或a₂=-1（舍）
3+，解得a₃=3，或a₃=-2（舍）．
由此猜想：a_n=n．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，a₁=1，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即：a_k=k，
當(dāng)n=k+1時(shí)，，
∴，
∴a_k+1=k+1，或a_k+1=-k（舍），也成立，
由①②知，a_n=n．
（Ⅱ）∵a_n=n，∴=n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
∴，②
∴①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹，
∴．
∵對(duì)于任意n∈N^*，都有T_n＞log_m（m+1）成立，
∴對(duì)于任意n∈N^*，都有2+（n-1）•2ⁿ⁺¹＞log_m（m+1）成立，
∵當(dāng)n=1時(shí)，2+（n-1）•2ⁿ⁺¹取最小值2，
∴l(xiāng)og_m（m+1）＜2=，
當(dāng)m＞1時(shí)，m+1＜m²，解得m；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，m+1＞m²，解得0＜m＜1．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）∪．
點(diǎn)評(píng)：本題考查{a_n}的通項(xiàng)公式的求法，設(shè)數(shù)列，{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)于任意n∈N^*，都有T_n＞log_m（m+1）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．