Question

8．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+$\frac{1}{2}$x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax+b，解關于x的不等式f′（x）-g′（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，分別求出f（0）=1，f′（1）=e，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）分別求出f′（x），g′（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出不等式的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+$\frac{1}{2}$x²，
∴f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
∴f′（1）=f′（1）-f（0）+1，
解得：f（0）=1，
∴f（x）=f′（1）e^x-1-x+$\frac{1}{2}$x²，
∴f（0）=f′（1）e^-1，解得：f′（1）=e，
∴f（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}$x²；
（2）∵f′（x）=e^x-1+x，g′（x）=x+a，
∴f′（x）-g′（x）=e^x-1-a＞0，
①a≤-1時，不等式無解，
②a＞-1時，解得：x＞ln（a+1）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了導數(shù)的應用，考查求函數(shù)的解析式問題，本題是一道中檔題．