Question

17．已知α，β為銳角，且tanα=$\frac{2}{3}$，tanβ=$\frac{3}{4}$，則sin（α+β）=$\frac{17\sqrt{13}}{65}$．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，再利用兩角和的正弦公式求得sin（α+β）的值．

解答 解：∵α，β為銳角，且tanα=$\frac{2}{3}$=$\frac{sinα}{cosα}$，tanβ=$\frac{3}{4}$=$\frac{sinβ}{cosβ}$，sin²α+cos²α=1，sin²β+cos²β=1，
∴sinα=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，cosα=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，sinβ=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{4}{5}$，
則sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{2}{\sqrt{13}}•\frac{4}{5}$+$\frac{3}{\sqrt{13}}•\frac{3}{5}$=$\frac{17\sqrt{13}}{13}$，
故答案為：$\frac{17\sqrt{13}}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．