Question

1．如圖所示，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，O為它的中心，將它沿對(duì)角線FC折疊，使平面ABCF⊥平面FCDE，點(diǎn)G是邊AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面BFD⊥平面EGO；
求二面角O-EG-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出OE⊥FD，從而GO⊥平面FCDE，進(jìn)而GO⊥DF，由此能求出DF⊥平面EGO，從而能證明平面BFD⊥平面EGO．
（Ⅱ）取DE的中點(diǎn)H，則OH⊥FC，分別以邊OG，OC，OH所在直線為x，y，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角O-EG-F的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵O是正六邊形ABCDEF的中心，∴OE⊥FD，
∵平面ABCF⊥平面FCDE，
平面ABCF∩平面 FCDE=FC，GO?平面ABCF，
∴GO⊥平面FCDE．
∵DF?平面FCDE，∴GO⊥DF．…（2分）
∵EO?平面EOG，GO?平面EOG，EO∩GO=O，
∴DF⊥平面EGO．…..（4分）
∵DF?平面DFB，∴平面BFD⊥平面EGO．（5分）
解：（Ⅱ）取DE的中點(diǎn)H，則OH⊥FC．
分別以邊OG，OC，OH所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
由AB=2，得$G（\sqrt{3}，0，0）$，$D（0，1，\sqrt{3}）$，$E（0，-1，\sqrt{3}）$，F(xiàn)（0，-2，0），…（6分）
則$\overrightarrow{FD}=（0，3，\sqrt{0}）$，$\overrightarrow{FE}=（0，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{FG}=（\sqrt{3}，2，0）$．
由（Ⅰ）知：DF⊥平面EGO．
∴平面EGO的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{FD}=（0，3，\sqrt{3}）$…．（8分）
設(shè)平面EFG的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{FE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{FG}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y+\sqrt{3}z=0\\ \sqrt{3}x+2y=0.\end{array}\right.$
令$y=\sqrt{3}$，則z=-1，x=-2．∴$\overrightarrow m=（-2，\sqrt{3}，-1）$．…（11分）
∵二面角O-EG-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{{（-2，\sqrt{3}，-1）•（0，3，\sqrt{3}）}}{{\sqrt{4+3+1}•\sqrt{0+9+3}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
∴二面角O-EG-F的余弦值為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．