Question

設(shè)直線L₁：y=k₁x+p，p≠0交橢圓Γ：=1（a＞b＞0）于C、D兩點(diǎn)，交直線L₂：y=k₂x于點(diǎn)E．
（1）若E為CD的中點(diǎn)，求證：；
（2）寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真；
（3）請你類比橢圓中（1）、（2）的結(jié)論，寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結(jié)論（不必證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)作差，利用點(diǎn)差法，結(jié)合E為CD的中點(diǎn)，即可證明結(jié)論；
（2）寫出逆命題，證法一，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用條件及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到結(jié)論；證法二，利用點(diǎn)差法證明；
（3）利用類比的方法，即可得到結(jié)論．
解答：（1）證明：設(shè)C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x，y），則，
兩式相減得
即…（3分）
∴
∴…（7分）
（2）解：逆命題：設(shè)直線L₁：y=k₁x+p交橢圓于C、D兩點(diǎn)，交直線L₂：y=k₂x于點(diǎn)E．若，則E為CD的中點(diǎn)．…（9分）
證法一：由方程組…（10分）
因?yàn)橹本�L₁：y=k₁x+p交橢圓C、D于C、D兩點(diǎn)，
所以△＞0，即，設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）、E（x，y）
則∴，…（12分）

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124630692635329/SYS201310251246306926353021_DA/13.png">，所以，故E為CD的中點(diǎn)．…（14分）
證法二：設(shè)C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x，y）
則，
兩式相減得
即…（9分）
又∵，即…（12分）∴
得x₁+x₂=2x∴y₁+y₂=2y，即E為CD的中點(diǎn)．…（14分）
（3）解：設(shè)直線L₁：y=k₁x+p，p≠0交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，交直線L₂：y=k₂x于點(diǎn)E．
則E為CD中點(diǎn)的充要條件是．…（16分）
點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵．