Question

（10）如果函數(shù)f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間［0，+∞）上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（A）（0，]   （B）［，1)   （C）（1，]    （Ｄ）［，+∞)

Answer 1

B

解析：<法一>

令t=a^x    ∵x∈［0,+∞)

n(t)=t²-(3a²+1)t

(i)當(dāng)0＜a＜1時(shí)

t=a^x在［0，+∞)上為減函數(shù)，且t∈(0，1)

而f(x)在［0,+∞)為增函數(shù)

∴h(t)在(0,1)］上應(yīng)為減函數(shù).

又∵h(yuǎn)(t)的對(duì)稱(chēng)軸為.

∴≥1a≥

∴≤a≤1

(ii)當(dāng)a＞1時(shí)

t=a^x在［0，+∞)上為增函數(shù).且t∈［1，+∞).

而f(x)在［0,+∞)上也為增函數(shù).

∴h(t)在［1,+∞)應(yīng)為增函數(shù)

又∵h(yuǎn)(t)的對(duì)稱(chēng)軸為.

∴≤10＜a≤，

這與a＞1矛盾.舍去.

∴a的取值范圍［,1)

<方法二>

∵0，1∈［０，＋∞)，且f(x)在［0，+∞）為增函數(shù)

∴必有f(0)＜f(1)

即    a(3a²-4a+1)＜0

∵a＞0   ∴3a²-4a+1＜0

∴＜a＜1

根據(jù)這個(gè)大致范圍可排除A、C、D.