Question

如圖2-3-27,四棱錐P—ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點.

圖2-3-27

(1)證明:BE∥平面PAD;

(2)平面EBD能垂直于平面ABCD嗎,為什么？

Answer 1

思路分析:證線面平行,只要證出線平行于面內(nèi)的一條直線即可.由E為PC的中點,所以取PD的中點F.

(1)證明:如圖2-3-28,取PD的中點F,連結(jié)EF、AF,則EF∥CD,且CD=2EF.

圖2-3-28

又∵AB∥CD,CD=2AB,∴EF∥AB且EF=AB.

∴四邊形ABEF是平行四邊形.

∴AF∥BE.而AF平面PAD.∴BE∥平面PAD.

(2)解:如圖2-3-29假設(shè)平面EBD能垂直于底面ABCD,過點E作EO⊥BD于點O,連結(jié)AO、CO.

圖2-3-29

∵面BDE∩面ABCD=BD,且EO面BDE,∴EO⊥面ABCD.

又∵PA⊥面ABCD,直線AC是PC在面ABCD上的射影,

∴平面ABCD的一條斜線PC上點E在面ABCD內(nèi)的射影O在直線AC上.

同時,EO∥PA.又E為PC的中點,

∴O為AC的中點.由AB∥CD可知△ABO∽△CDO,且相似比為=.

∴AB=CD.這與已知條件四邊形ABCD為梯形,且CD=2AB矛盾.

∴假設(shè)“平面BDE⊥平面ABCD”是不成立的.

因此,平面BDE不能垂直于平面ABCD.

  綠色通道:解答探索性問題時,可從假設(shè)命題成立入手,若導(dǎo)出矛盾,說明假設(shè)不成立;若導(dǎo)不出矛盾,說明假設(shè)成立.