Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率，且經(jīng)過點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差數(shù)列，求直線l的方程。

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為（其中a>b>0），
由題意知，且
解得a²=4，b²=2，c²=2，
所以橢圓C的方程為。
（2）由于|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差數(shù)列，
則|F₁A|+|BF₁|=2|AB|，
而|F₁A|+|AB|+|BF₁|=4a=8，
所以|AB|=
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=
代入橢圓C的方程
化簡，得
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則
又
 

解得k=±1；
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，代入橢圓方程，得y=±1，
∴|AB|=2，不合題意，
所以，直線l的方程為。