Question

（本小題滿分12分）

如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面BCD，．求點A到平面MBC的距離。

 

 

Answer 1

【答案】

解法一:  （Ⅰ）如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

∵AP=AB=2,BC=AD=,四邊形ABCD是矩形.

∴A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2, ,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)，

又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，

∴E(0，，0)，F(xiàn)(1，，1).

∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0, 1），

∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，

∴⊥，⊥，

∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF ∩  EF=F,

∴PC⊥平面BEF，

（II）由（I）知平面BEF的法向量,

平面BAP 的法向量,

  ∴.     設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為 θ ，

則,

∴ θ=45°， ∴ 平面BEF與平面BAP的夾角為45°.

解法二  （I）連接PE，EC在和中.

PA=AB=CD, AE=DE,

∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，

又F是PC 的中點，∴EF⊥PC,

又，F(xiàn)是PC 的中點，

∴  BF⊥PC.

又,∴.

（II）∵∴,

又ABCD是矩形，∴ABBC

∴BC平面BAP,BCPB,

又由（Ⅰ）知PC平面BEF,

∴ 直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角，

在中，∴

所以平面BEF與平面BAP的夾角為45°.

 

【解析】略