Question

8．已知雙曲線C：2x²-y²=2與點P（1，2）．
（1）求過點P（1，2）的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C只有一個交點；
（2）是否存在過點P的弦AB，使AB的中點為P？

Answer 1

分析 （1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，與曲線C有一個交點．當l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0，然后進行分類討論，把直線與雙曲線交點個數(shù)問題，歸結(jié)為方程組解的問題進行求解．
（2）假設(shè)以Q為中點的弦存在，設(shè)為AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2兩式相減得．2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），再由點差法進行求出直線AB的斜率，繼而的得到直線方程，再和曲線構(gòu)造方程組，判斷方程組是否有兩個解，問題得以解決．

解答 解：（1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，與曲線C有一個交點．
當l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0 （^*）
（�。┊�2-k²=0，即k=±$\sqrt{2}$時，方程（^*）有一個根，l與C有一個交點
（ⅱ）當2-k²≠0，即k≠±$\sqrt{2}$時
△=[2（k²-2k）]²-4（2-k²）（-k²+4k-6）=16（3-2k）
①當△=0，即3-2k=0，k=$\frac{3}{2}$時，方程（^*）有一個實根，l與C有一個交點．
綜上知：當k=±$\sqrt{2}$，或k=$\frac{3}{2}$，或k不存在時，l與C只有一個交點；
（2）假設(shè)以P為中點的弦存在，設(shè)為AB，
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
兩式相減得2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
又∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
∴4（x₁-x₂）=4（y₁-y₂）  
即k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
∴直線AB的方程為y-2=x-1，即y=x+1
代入雙曲線方程2x²-y²=2，可得，x²-2x-3=0，
解得x=3，或x=-1，則該直線AB存在．

點評 本題考查雙曲線的方程和運用，考查點差法求中點問題，注意檢驗判別式的符號，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題