Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：解法一（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，AD中點(diǎn)為O，連接OC，OP，CD．可以證出∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面APC的一個(gè)法向量與面ABP的一個(gè)法向量求解．
解法二（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接CD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用與平面ABC的一個(gè)法向量夾角求解．
（Ⅱ）分別求出平面APC，平面ABP的一個(gè)法向量，利用兩法向量夾角求解．
解答：解法一
（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，AD中點(diǎn)為O，連接OC，OP，CD．
因?yàn)锳B=BC=CA，所以CD⊥AB，
因?yàn)椤螦PB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD為等邊三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．
PO⊥平面ABC，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角
不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=，AB=4．
所以CD=2，OC===
在RT△OCP中，tan∠OCP===．
故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan．
（Ⅱ）過D作DE⊥AP于E，連接CE．
由已知，可得CD⊥平面PAB．根據(jù)三垂線定理知，CE⊥PA．所以∠CED為二面角
B-AP-C的平面角．由（Ⅰ）知，DE=，在RT△CDE中，tan∠CED===2，故二面角B-AP-C的大小為arctan2．
解法二：（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接CD．因?yàn)镺在AB上，且O為P在平面ABC內(nèi)的射影，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因?yàn)锳B=BC=CA，所以CD⊥AB，設(shè)E為AC中點(diǎn)，則EO∥CD，從而OE⊥PO，OE⊥AB．
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．不妨設(shè)PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，
CD=2，所以O(shè)（0，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（-1，-2，）=（0，0，）為平面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)α為直線PC與平面ABC所成的角，則sinα===．故直線PC與平面ABC所成的角大小為arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．
設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則由得出即，
取x=-，則y=1，z=1，所以=（-，1，1）．設(shè)二面角B-AP-C的平面角為β，易知β為銳角．
而面ABP的一個(gè)法向量為=（0，1，0），則cosβ===．
故二面角B-AP-C的大小為arccos．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面關(guān)系，直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查思維能力、空間想象能力，并考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題能力．