Question

一個數(shù)列中的數(shù)均為奇數(shù)時，稱之為“奇數(shù)數(shù)列”． 我們給定以下法則來構(gòu)造一個奇數(shù)數(shù)列｛a_n｝，對于任意正整數(shù)n，當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=n；當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=．

（1）試寫出該數(shù)列的前6 項；

（2）研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的每一個奇數(shù)都會重復(fù)出現(xiàn)，那么第10個5是該數(shù)列的第幾項？

（3）求該數(shù)列的前2ⁿ項的和T_n．

Answer 1

解：（1）a₁=1，a₂=1，a₃=3，a₄=1，a₅=5，a₆=3．     

（2）第1個5出現(xiàn)在第5項，第2個5出現(xiàn)在第2×5=10項，第3個5出現(xiàn)在第2²×5=20項，第4個5出現(xiàn)在第2³×5=40項，依次類推．

第10個5是該數(shù)列的第2⁹×5=2560項．             

（3）T_n= a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆＋…＋

       =（a₁＋a₃＋a₅＋…＋ ）＋（a₂＋a₄＋a₆＋…＋）

       =（1+3+5+7+…+（2ⁿ－1）＋（a₁＋a₂＋a₃＋…＋ ）

       =4^n－1＋T_n－1    （n≥ 2）                        

用累加法得：T_n=T₁＋4＋4²＋…＋4^n－1=  （n ≥ 2）

當(dāng)n=1時，T₁=2=

∴對一切正整數(shù)n都有T_n= ．