Question

 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于．

   （Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡方程；

   （Ⅱ）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

   （Ⅰ）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1）

    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

    由題意得，

    代簡得

    故動點(diǎn)P的軌跡方程為

   （Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為

    則直線AP的方程為，

    直線BP的方程為

    令得

    于是的面積

   

    又直線AB的方程為

    點(diǎn)P到直線AB的距離

    于是的面積

   

    當(dāng)時(shí)，得

    又

    所以，解得

    因?yàn)?sub>，所以

    故存在點(diǎn)P使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

    解法二：故存在點(diǎn)P使得與的面積相等，

    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

    則

    因?yàn)?sub>，

    所以

    所以

    即，解得

    因?yàn)?sub>，所以。

    故存在點(diǎn)P使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為