Question

【題目】平面內(nèi)有向量 =（1，7）， =（5，1）， =（2，1），點(diǎn)X為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng) 取最小值時(shí)，求 的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)X滿足（1）的條件和結(jié)論時(shí)，求cos∠AXB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè) =（x，y），

∵點(diǎn)X在直線OP上，∴向量 與 共線．

又 =（2，1），∴x﹣2y=0，即x=2y．

∴ =（2y，y）．又 = ﹣ ， =（1，7），

∴ =（1﹣2y，7﹣y）．

同樣 = ﹣ =（5﹣2y，1﹣y）．

于是 =（1﹣2y）（5﹣2y）+（7﹣y）（1﹣y）=5y2﹣20y+12=5（y﹣2）2﹣8．

∴當(dāng)y=2時(shí)， 有最小值﹣8，此時(shí) =（4，2）

（2）解：當(dāng) =（4，2），即y=2時(shí)，有 =（﹣3，5）， =（1，﹣1）．

∴| |= ，| |= ．

∴cos∠AXB= =﹣

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)X在直線OP上，向量 與 共線，可以得到關(guān)于 坐標(biāo)的一個(gè)關(guān)系式，再根據(jù) 的最小值，求得 的坐標(biāo)，（2）cos∠AXB是 與 夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識(shí)易解決．