Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），（2，0）．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求解a，b的值．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，得到函數(shù)的極值，與端點(diǎn)函數(shù)值比較，可得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）=3x²+2ax+b，
導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），（2，0）．
可得b=0，a=-3．
（2）由（1）可得f（x）=x³-3x²+c，f′（x）=3x²-6x，
令3x²-6x=0，解得x=0或x=2，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
x=0函數(shù)取得極大值，x=2時(shí)函數(shù)取得極小值；
f（-1）=c-4，f（0）=c，f（2）=c-4，f（3）=c．
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值：c，最小值為：c-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．