Question

【題目】有限個(gè)元素組成的集合，，記集合中的元素個(gè)數(shù)為，即.定義，集合中的元素個(gè)數(shù)記為，當(dāng)時(shí)，稱集合具有性質(zhì).

（1），，判斷集合，是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）設(shè)集合，且()，若集合具有性質(zhì)，求的最大值；

（3）設(shè)集合，其中數(shù)列為等比數(shù)列，()且公比為有理數(shù)，判斷集合是否具有性質(zhì)并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)，理由見解析.（2）.（3）集合具有性質(zhì)，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義即可判斷，進(jìn)而得出答案.

（2）運(yùn)用反證法即可得出答案.

（3）設(shè)，假設(shè)當(dāng)時(shí)有成立，進(jìn)而結(jié)合反證法證明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出答案.

（1）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì).

，不具有性質(zhì)；

，具有性質(zhì).

（2）若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則不具有性質(zhì)，理由是.

因?yàn)?/span>且()所以，

要使取最大，則；

，易知不具有性質(zhì)，要使取最大，

則；

，要使取最大，檢驗(yàn)可得；

（3）集合具有性質(zhì).

設(shè)等比數(shù)列的公比為為，所以()且為有理數(shù)，

假設(shè)當(dāng)時(shí)有成立，則有

因?yàn)?/span>為有理數(shù)，設(shè)(，)且(，互質(zhì))，因此有

即（1），

（1）式左邊是的倍數(shù)，右邊是的倍數(shù)，又，互質(zhì)，

顯然不成立.

所以，所以集合具有性質(zhì).