Question

（2013•濟(jì)南一模）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}滿足b₃=3，b₅=9．
（1）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)C_n=

bn+2

an+2

（n∈N^*），求證C_n+1＜C_n≤

1

3

．

Answer 1

分析：（1）①利用an=

a1，當(dāng)n=1時(shí) a2=2a1+1=3，當(dāng)n=2時(shí) Sn-Sn-1，當(dāng)n≥3時(shí)

，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n；②利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出b_n；
（2）由

n+1

3

＜n即可得到c_n+1＜c_n；利用二項(xiàng)式定理可得3ⁿ=（1+2）ⁿ≥3n，即可證明cn≤

1

3

．

解答：解：（1）①當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n．
由a₁=1，∴a₂=2a₁+1=3=3a₁．
∵a₁=1≠0，∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
∴an=1×3n-1．
②等差數(shù)列{b_n}滿足b₃=3，b₅=9．設(shè)公差為d，則

b1+2d=3 b1+4d=9

，解得

b1=-3 d=3

．
∴b_n=-3+（n-1）×3=3n-6．
（2）由（1）可得cn=

3(n+2)-6

3n+1

=

n

3n

．
∴cn+1=

n+1

3n+1

=

n+1 3

3n

＜

n

3n

=c_n．
∵3ⁿ=（1+2）ⁿ=n+

C

1 n

×2+…+2ⁿ≥3n，
∴cn=

n

3n

≤

1

3

．

點(diǎn)評：熟練掌握數(shù)列通項(xiàng)公式a_n與其前n項(xiàng)和S_n之間的關(guān)系、等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的基本性質(zhì)、二項(xiàng)式定理是解題的關(guān)鍵．