Question

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，且過點(diǎn)(

3

，

1

2

)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：圓D的半徑為定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，可得a²=4b²，利用橢圓過點(diǎn)(

3

，

1

2

)，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分類討論：①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，從而可求原點(diǎn)O到直線的距離；②當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，可求原點(diǎn)O到直線的距離，由此可知圓D的半徑為定值

2 5

5

．

解答：（1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

∴

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²
∴橢圓C的方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1
∵橢圓過點(diǎn)(

3

，

1

2

)
∴

3

4b2

+

1

b2

=1
∴b²=1，a²=4
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x12-y12=0
∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=

2 5

5

∴原點(diǎn)O到直線的距離為d=|x1|=

2 5

5

②當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴y12-x12=0
∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=

2 5

5

∴原點(diǎn)O到直線的距離為d=|y1|=

2 5

5

綜上知，圓D的半徑為定值

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的綜合，正確運(yùn)用橢圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．