Question

6．在△ABC中，AB=AC，M為AC的中點，BM=$\sqrt{3}$，則△ABC面積的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)AB=AC=2x，三角形的頂角θ，則由余弦定理求得cosθ的表達式，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得sinθ，最后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形面積的表達式，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值．

解答 解：設(shè)AB=AC=2x，AC=x．
設(shè)三角形的頂角θ，則由余弦定理得cosθ=$\frac{（2x）^{2}+{x}^{2}-3}{4{x}^{2}}$=$\frac{5{x}^{2}-3}{4{x}^{2}}$
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-（\frac{5{x}^{2}-3}{4{x}^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{4{x}^{2}}$$\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{30}{18}）^{2}+9×\frac{3{0}^{2}-1{8}^{2}}{1{8}^{2}}}$，
 根據(jù)公式三角形面積S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}$×2x×2x×$\frac{1}{4{x}^{2}}$$\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{30}{18}）^{2}+9×\frac{3{0}^{2}-1{8}^{2}}{1{8}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{30}{18}）^{2}+9×\frac{3{0}^{2}-1{8}^{2}}{1{8}^{2}}}$，
∴當 x²=$\frac{30}{18}$時，三角形面積有最大值$\frac{1}{2}$$\sqrt{9×\frac{900-324}{324}}$=2．
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的應用，根據(jù)條件設(shè)出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學生的運算能力．運算量較大，屬于中檔題．