Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)為，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，互相垂直，直線過且與橢圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線過且與橢圓交于，兩點(diǎn).求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）根據(jù)周長(zhǎng)確定，由通徑確定，求得，因而確定橢圓的方程。

（2）分析得直線、直線的斜率存在時(shí)，根據(jù)過焦點(diǎn)可設(shè)出AB直線方程為，因而直線的方程為.聯(lián)立橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程.由韋達(dá)定理求得和，進(jìn)而.

當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，求得，，所以。

當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求得，，所以。

即可判斷。

詳解：（1）將代入，得，所以.

因?yàn)?/span>的周長(zhǎng)為，所以，，

將代入，可得，

所以橢圓的方程為.

（2）（i）當(dāng)直線、直線的斜率存在且不為時(shí)，

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.

由消去得.

由韋達(dá)定理得，，

所以， .

同理可得.

.

（ii）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，.

（iii）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，，.

綜上，.