Question

已知函數(shù)f(x)=(x≠-1).設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1,a_n+1=f(a_n),數(shù)列{b_n}滿足b_n=|a_n|,S_n=b₁+b₂+…+b_n(n∈N^*).

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n≤;

(2)證明S_n＜.

Answer 1

思路分析:本題考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題的能力.

證明:(1)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=1+＞1.

∵a₁=1,∴a_n≥1(n∈N^*).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式b_n≤.

①當(dāng)n=1時(shí),b₁=-1,不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即b_k≤,

那么b_k+1=|a_k+1-|=

所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.

根據(jù)①②可知不等式對(duì)任意n∈N^*都成立.

(2)由(1)知b_n≤.

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n≤(-1)+

.

故對(duì)任意n∈N^*,S_n＜.