Question

20．關(guān)于x的方程$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=2m在[0，π]內(nèi)有相異兩實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由題意可得，函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象和直線y=2m在[0，π]內(nèi)有相異的兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意可得，函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象
和直線y=2m在[0，π]內(nèi)有相異的兩個(gè)交點(diǎn)．
由x∈[0，π]，可得x+$\frac{π}{4}$[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)2m的取值范圍為[1，$\sqrt{2}$），故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．