Question

8．F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a，b＞0）的焦點，過F作x軸的垂線，與雙曲線交于點A，過F作與漸近線平行的直線，與雙曲線交于點B．若三角形FAB為直角三角形，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． 不是定值
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意，AB⊥BF，設(shè)F（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，則AB的斜率為-$\frac{a}$，求出A，B 的坐標，可得AB的斜率，建立方程，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，AB⊥BF，設(shè)F（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，則AB的斜率為-$\frac{a}$，
過F作與漸近線平行的直線方程為y=$\frac{a}$（x-c），代入C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，可得B（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{-^{3}}{2ac}$）
x=c代入C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，可得A（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
∴AB的斜率為$\frac{\frac{-^{3}}{2ac}+\frac{^{2}}{a}}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}-c}$=$\frac{b-2c}{a}$，
∴-$\frac{a}$=$\frac{b-2c}{a}$，
∴c=2b，
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線C的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，求出AB的斜率是關(guān)鍵．