Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)為曲線上的點(diǎn)，，垂足為，若的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）消去參數(shù)可得直線的普通方程，利用互化公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程.

（Ⅱ）利用曲線的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求出最小值，利用已知列方程可解得．

（Ⅰ）因?yàn)榍�線的極坐標(biāo)方程為，即，

將，代入上式并化簡得，

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，

消去參數(shù)可得直線的普通方程為．

（Ⅱ）設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離公式得

，

由題意知，

當(dāng)時(shí)，，得，

當(dāng)時(shí)，|，得；

所以或．