Question

已知直線l過點P（2，1），且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標原點，當

1

PB

+

1

PA

取最大值時l的方程為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)直線l的方程：y-1=k（x-2），k＜0，求出點A（

2k-1

k

，0 ），點B（0，-2k+1），

1

PB

+

1

PA

=2

4k2-4k+1 k2+1

，
令t=

4k2-4k+1

k2+1

，有 （4-t）k²-4k+1-t=0，故△≥0，求得t 的最大值為5，求出此時k值，即得直線l的方程．

解答：解：由題意可知直線l的斜率k＜0，由直線的點斜式方程得到直線l的方程：y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1．
令x=0，代入方程得y=-2k+1，令y=0，代入方程得x=

2k-1

k

，
所以直線l與x軸、y軸的交點坐標分別是點A（

2k-1

k

，0 ），點B（0，-2k+1）．
∴PA=

( 2k-1 k -2)2+1

=

k2+1

-k

，PB=

4+4k2

=2

k2+1

 

1

PB

+

1

PA

=

1

2 k2+1

+

-k

k2+1

=

1-2k

2 k2+1

=2

4k2-4k+1 k2+1

．
令t=

4k2-4k+1

k2+1

，有 （4-t）k²-4k+1-t=0，故△=16-4（4-t）（1-t）≥0．
解得 0≤t≤5，故t=5時，

1

PB

+

1

PA

取最大值．
此時，解得 k=-2，直線l的方程y=-2x-2k+1，即2x+y-5=0，
故答案為2x+y-5=0．

點評：本題主要考查用點斜式求直線方程的方法，用判別式法求函數(shù)的值域，屬于中檔題．