Question

12．△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=$\sqrt{3}$，分別在邊AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)，使△DEF是等邊三角形（如圖），設∠FEC=α，問當sinα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$時，△DEF的邊長最短．

Answer 1

分析 設等邊△DEF的邊長為x，顯然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，得到∠EDB=α，在三角形BDE中，利用正弦定理列出關系式，表示出BE，由BE+EC=BC，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，得到三角形的邊長，求出邊長的最小值，以及此時sinα的值即可．

解答 解：設等邊△DEF的邊長為x，顯然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，
∵∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，∴∠EDB=α．
在△BDE中，由正弦定理得$\frac{x}{sin60°}$=$\frac{BE}{sinα}$，∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}•x•sinα$xsinα，
∵BE+EC=BC，∴xcosα+$\frac{2\sqrt{3}}{3}•x•sinα$=1，
∴x=$\frac{1}{cosα+\frac{2\sqrt{3}}{3}•sinα}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}•（\sqrt{\frac{3}{7}}•cosα+\frac{2}{\sqrt{7}}sinα）}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}•sin（α+θ）}$，
（其中，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\sqrt{\frac{3}{7}}$），
當α+θ=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{2}$-θ時，x_min=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，此時sinα=cosθ=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

點評 此題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的值域，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．