Question

21.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S₁＞1,且6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N₊.

(Ⅰ)求{a_n}的通項公式;

(Ⅱ)設數(shù)列{b_n}滿足a_n(-1)=1,并記T_n為{b_n}的前n項和,求證:3T_n+1＞log₂(a_n+3),n∈N₊.

Answer 1

(Ⅰ)解：由a₁=S₁=(a₁+1)(a₁+2)，解得a₁=1或a₁=2.由假設a₁=S₁＞1，因此a₁=2.

又由a_n+1=S_n+1=S_n=(a_n+1+1)(a_n+1+2)(a_n+1)(a_n+2)，

得  (a_n+1+a_n)(a_n-1-a_n-3)=0，

即  a_n+3-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，因a_n＞0，故a_n+1=-a_n不成立，舍去

因此a_n+1-a_n=3，從而{a_n}是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故{a_n}的通項為a_n=3n-1.

(Ⅱ)證法一：由a(2-1)=1可解得

b_n=log₂(1+)=log₂；

從而T_n=b₁+b₂+…+b_n=log₂(··…·).

因此3T_n+1-log₂(a_n+3)-log₂(··…·)³·.

又  f(n)=(··…·)³·，則

.

因(3n+3)³-(3n+5)(3n+2)²=9n+7＞0，故

f(n+1)＞f(n).

特別地f(n)≥f(1)=＞1，從而3T_n+1-log₂(a_n+3)=log₂f(n)＞0，

即3T_n+1＞log₂(a_n+3).

證法二：同證法一求得b_n及T_n.

由二項式定理知，當c＞0時，不等式(1+c)³＞1+3c成立.

因此不等式有

3T_n+1=log₂2(1+)³(1+)³…(1+)³

＞log₂2(1+)(1+)…(1+)

=log₂2···…·=log₂(3n+2)=log₂(a_n+3).證法三：同證法一求得b_n及T_n.

令A_n=··…·，B_n=··…·，

C_n=··…·.

因，因此A＞A_nB_nC_n=.

從而

3T_n+1=log₂2(··…·)²=log₂2A

＞log₂2A_nB_nC_n=log₂(3n+2)=log₂(a_n+3).

證法四：同證法一求得b_n及T_n.

下面用數(shù)學歸納法證明：3T_n+1＞log₂(a_n+3).

當n=1時，3T₁+1=log₂，log₂(a₁+3)=log₂5，

因此3T₁+1＞log₂(a₁+3)，結(jié)論成立.

假設結(jié)論當n=k時成立，即3T₁+1＞log₂(a₁+3)，

則當n=k+1時，

3T_n+1+1-log₂(a_n+1+3)=3T_n+1+3b_n+1-log₂(a_2n+3)

＞log₂(a_n+3)-log₂(a_n+1+3)+3b_n+1

=log₂

因(3k+3)³-(3k+5)(3k+2)²=9k+7＞0，故log₂＞0.

從而3T_n+1+1＞log2(a_n+1+3). 這就是說，當n=k+1時結(jié)論也成立.

綜上3T_n+1＞log₂(a_n+3)對任何n∈N，成立.