Question

已知sinx+siny=,求siny-cos²x的最小值和最大值.

Answer 1

解:由已知,得siny=-sinx.

∵siny∈[-1,1],

∴-1≤-sinx≤1.

∴-≤sinx≤.

又sinx≤1,∴-≤sinx≤1.

∴siny-cos²x=-sinx-(1-sin²x)=(sinx)²-.

∴當(dāng)sinx=時,siny-cos²x有最小值-;

當(dāng)sinx=-時,siny-cos²x有最大值.

點(diǎn)評:對于這類已知sinα+sinβ=m,m∈[-2,2]的三角問題,sinα或sinβ不一定能取到±1,所以要注意題目的隱含條件.學(xué)生很容易得出以下錯解：

∵siny=-sinx,

∴siny-cos²x=-sinx-(1-sin²x)=(sinx)²-.

∴當(dāng)sinx=時,siny-cos²x有最小值-;

當(dāng)sinx=-1時,siny-cos²x有最大值.^?

這顯然是錯誤的.錯誤的原因是忽視了siny的取值范圍是:siny∈[-1,1].