Question

2．下列敘述中，正確的個數(shù)是（　　）
①命題p：“?x∈R，x²-2≥0”的否定形式為￢p：“?x∈R，x²-2＜0”；
②O是△ABC所在平面上一點，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$，則O是△ABC的垂心；
③“M＞N”是“（$\frac{2}{3}$）^M＞（$\frac{2}{3}$）^N”的充分不必要條件；
④命題“若x²-3x-4=0，則x=4”的逆否命題為“若x≠4，則x²-3x-4≠0”．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①對存在命題的否定，應(yīng)把存在一個改為對任意的，再取結(jié)論的反面，故正確；
②由數(shù)量積的分配律可知$\overrightarrow{OB}$（$\overrightarrow{OA}$$-\overrightarrow{OC}$）=0，進而得出OB⊥AC，同理可證OA⊥BC，OC⊥AB，得出結(jié)論成立；
③由指數(shù)函數(shù)可知③“M＞N”得出“（$\frac{2}{3}$）^M＜（$\frac{2}{3}$）^N”，故錯誤；
④命題的逆否命題是先逆再否，故正確．

解答 解：①命題p：“?x∈R，x²-2≥0”的否定形式為￢p：“?x∈R，x²-2＜0”是對應(yīng)存在命題的否定，應(yīng)把存在一個改為對任意的，再取結(jié)論的反面，故正確；
②$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=0，
∴$\overrightarrow{OB}$（$\overrightarrow{OA}$$-\overrightarrow{OC}$）=0，
∴$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{CA}$=0，
∴OB⊥AC，
同理可證OA⊥BC，OC⊥AB，
故O為垂心，正確；
③“M＞N”不能推出“（$\frac{2}{3}$）^M＞（$\frac{2}{3}$）^N”，由③“（$\frac{2}{3}$）^M＞（$\frac{2}{3}$）^N”不能推出“M＞N”，故應(yīng)是既不充分也不必要條件，故錯誤；
④命題的逆否命題是先逆再否，故命題“若x²-3x-4=0，則x=4”的逆否命題為“若x≠4，則x²-3x-4≠0”正確．
故選C．

點評 考查了四種命題，存在命題的否定和數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．