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已知四棱錐P—ABCD的三視圖如圖，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求四棱錐P—ABCD的體積；

(2)若點(diǎn)F在線(xiàn)段BD上且DF=3BF，則當(dāng)等于多少時(shí)，有EF∥平面PAB？并證明你的結(jié)論；

(3)試證明P、A、B、C、D五個(gè)點(diǎn)在同一球面上.

解:(1)由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，

側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.

∴VP—ABCD=S正方形ABCD·PC=.

(2)當(dāng)=時(shí),有EF∥平面PAB.

連結(jié)CF延長(zhǎng)交AB于G，連結(jié)PG，在正方形ABCD中，DF=3BF.

由△BFG∽△DFC得.

在△PCG中，,

∴EF∥PG.又PG平面PAB，EF平面PAB,

∴EF∥平面PAB.

(3)證明:取PA的中點(diǎn)O.連結(jié)OB、OC、OD，

連結(jié)AC，

在四棱錐P—ABCD中，側(cè)棱PC⊥平面ABCD,

底面ABCD為正方形，

可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，

又O為PA中點(diǎn),∴OA=OP=OB=OC=OD.

∴點(diǎn)P、A、B、C、D在以點(diǎn)O為球心的球面上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動(dòng)直線(xiàn)PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點(diǎn)，AE與BD交于O點(diǎn)，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線(xiàn)PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線(xiàn)段PC上一點(diǎn)，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線(xiàn)AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動(dòng)直線(xiàn)PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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