Question

已知A，B，C是三角形△ABC三內(nèi)角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1．
（1）求角A；（2）若tanB=

1

2

，求

1+sin2B

cos2B-sin2B

的值．

Answer 1

分析：（1）首先由平面向量數(shù)量積坐標(biāo)公式得A的三角等式，然后利用正弦的差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后由特殊角三角函數(shù)值解之；
（2）利用正弦的倍角公式、同角正余弦關(guān)系式及弦切互化公式把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為tanB的形式即可．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=1∴(-1，

3

)•(cosA，sinA)=1，
即

3

sinA-cosA=1，2(sinA•

3

2

-cosA•

1

2

)=1，
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

∴A-

π

6

=

π

6

∴A=

π

3

．
（2）由題知

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(sinB+cosB)2

cos2B-sin2B

=

sinB+cosB

cosB-sinB

=

1+tanB

1-tanB

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)有關(guān)公式及特殊角三角函數(shù)值，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想．