Question

如圖1-6-,△ABC中∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,D、E為垂足.

求證: =.

圖1-6

Answer 1

思路分析:左邊是平方,需設(shè)法將左邊降冪或?qū)⒂疫吷齼缁蛘呃�用相似三角形面積比等于相似比的平方.

證法一:由射影定理得AB²=BD·BC,AC²=CD·BC,

∴==.

∵DE⊥AB,∴CA⊥AB.

∴DE∥AC.

∴=.

∴=.

證法二:∵DE∥AC,∴△BED∽△BAC.

∴=.∴=.

由射影定理DE²=AE·BE.

∴==.

證法三:易證△ABD∽△CAD.

∴=()²=.

又==.

∵DE∥AC,∴=.

∴=.

證法四:∵△ABD∽△CBA,

∴=.                                                               ①

∵△ACD∽△BCA,

∴=.                                                               ②

∴①×②, =·=.

而∵DE∥AC,∴=.

∴=.