Question

（2013•潮州二模）已知各項(xiàng)都不為零的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

1

2

anan+1(n∈N*)，a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）即可得到a_n+1-a_n-1=2．分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論即可得到a_n；
（2）利用（1）通過放縮，利用“裂項(xiàng)求和”即可證明．

解答：（1）解：∵Sn=

1

2

anan+1，①
∴Sn-1=

1

2

an-1an(n≥2)，②
①-②得an=Sn-Sn-1=

1

2

(an+1-an-1)an
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2．
數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為a₁=1，公差為2的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為a₂，公差為2的等差數(shù)列．
∵a₁=1，∴a2=

S1

1 2 a1

=2，
∴a_2n-1=1+（n-1）×2=2n-1，a_2n=2+（n-1）×2=2n．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n．（n∈N*）；
（2）證明：當(dāng)n≥3時(shí)，

1

an2

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

(n-1)

-

1

n

，則

1 a12 + 1 a22 + 1 a32 +…+ 1 an2 = 1 12 + 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2 ＜1+ 1 4 +( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )+…+ 1 (n-1) - 1 n = 7 4 - 1 n ＜ 7 4

當(dāng)n=1時(shí)，

1

a12

=1＜

7

4

；  當(dāng)n=2時(shí)，

1

a12

+

1

a22

=

5

4

＜

7

4

；
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

7

4

．

點(diǎn)評：熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系an=

S1，當(dāng)n=1時(shí) Sn-Sn-1，當(dāng)n≥2時(shí)

、分類討論思想方法、放縮法、裂項(xiàng)求和法是解題的關(guān)鍵．